已知点P(x0,y0)在直线x+y-2=0上,若圆O:x2+y2=1(O为坐标原点)上存在点Q使得∠OPQ=30°,则x0的取值范围为______.
问题描述:
已知点P(x0,y0)在直线x+y-2=0上,若圆O:x2+y2=1(O为坐标原点)上存在点Q使得∠OPQ=30°,则x0的取值范围为______.
答
过P作⊙C切线交⊙C于R,根据圆的切线性质,有∠OPR≥∠OPQ=30°.反过来,如果∠OPR≥30°,则⊙C上存在一点点Q使得∠OPQ=30°.∴若圆C上存在点Q,使∠OPQ=30°,则∠OPR≥30°.∵|OR|=1,∴|OP|>2时不成立,∴|O...
答案解析:根据圆的切线的性质,可知当过P点作圆的切线,切线与OP所成角是圆上的点与OP所成角的最大值,所以只需此角大于等于30°即可,此时半径,切线与OP构成直角三角形,因为切线与OP所成角大于等于30°所以OP小于等于半径的2倍,再用含x0的式子表示OP,即可求出x0的取值范围.
考试点:直线与圆的位置关系.
知识点:本题主要考查了直线与圆相切时切线的性质,以及一元二次不等式的解法,综合考察了学生的转化能力,计算能力,属于中档题.