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（2014•南开区二模）设圆C：x2+y2=3，直线l：x+3y-6=0，点P（x0，y0）∈l，存在点Q∈C，使∠OPQ=60°（O为坐标原点），则x0的取值范围是（　　）A. [−12，1]B. [0，1]C. [0，65]D. [12，32]

分类: 作业答案 • 2022-08-06 13:25:00
问题描述：

（2014•南开区二模）设圆C：x2+y2=3，直线l：x+3y-6=0，点P（x0，y0）∈l，存在点Q∈C，使∠OPQ=60°（O为坐标原点），则x0的取值范围是（　　）
A. [−

1
2
，1]
B. [0，1]
C. [0，
6
5
]
D. [
1
2
，
3
2
]

答

由分析可得：PO2=x02+y02
又因为P在直线L上，所以x0=-（3y0-6）
故10y02-36y0+3≤4
解得

8
5
≤y0≤2，0≤x0≤
6
5

即x0的取值范围是 [0，
6
5
]，
故选C
答案解析：圆O外有一点P，圆上有一动点Q，∠OPQ在PQ与圆相切时取得最大值．如果OP变长，那么∠OPQ可以获得的最大值将变小．因为sin∠OPQ=
Q0
PO
，QO为定值，即半径，PO变大，则sin∠OPQ变小，由于∠OPQ∈（0，
π
2
），所以∠OPQ也随之变小．可以得知，当∠OPQ=60°，且PQ与圆相切时，PO=2，而当PO＞2时，Q在圆上任意移动，∠OPQ＜60°恒成立．因此，P的取值范围就是PO≤2，即满足PO≤2，就能保证一定存在点Q，使得∠OPQ=60°，否则，这样的点Q是不存在的．
考试点：点与圆的位置关系．
知识点：解题的关键是结合图形，利用几何知识，判断出PO≤2，从而得到不等式求出参数的取值范围．

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