如图,已知以点O为两个同心圆的公共圆心,大圆的弦AB交小圆于C、D两点.(1)求证:AC=BD;(2)若AB=8,CD=4,求圆环的面积.

问题描述:

如图,已知以点O为两个同心圆的公共圆心,大圆的弦AB交小圆于C、D两点.

(1)求证:AC=BD;
(2)若AB=8,CD=4,求圆环的面积.

(1)过点O作OE⊥AB于E,
∴AE=BE,CE=DE,
∴AE-CE=BE-DE,
∴AC=BD;
(2)连接OA,OC,
在Rt△AOE与Rt△OCE中:OE2=OA2-AE2,OE2=OC2-CE2
∴OA2-AE2=OC2-CE2
∴OA2-OC2=AE2-CE2
∵AB=8,CD=4,
∴AE=4,CE=2,
∴OA2-OC2=12,
∴圆环的面积为:πOA2-πOC2=π(OA2-OC2)=12π.
答案解析:(1)首先过点O作OE⊥AB于E,由垂径定理可证得AE=BE,CE=DE,继而可得AC=BD;
(2)首先连接OA,OC,由勾股定理可得:OE2=OA2-AE2,OE2=OC2-CE2,继而可得OA2-OC2=12,则可求得圆环的面积.
考试点:垂径定理;勾股定理.


知识点:此题考查了垂径定理与勾股定理的知识.此题难度适中,解题的关键是注意数形结合思想的应用,注意辅助线的作法.