lim(n趋近无穷大)(n^n/n!)^1/n 求证明
问题描述：
lim(n趋近无穷大)(n^n/n!)^1/n 求证明
答
求lim(n->∞) (n^n/n!)^1/n
对(n^n/n!)^1/n取自然对数：
ln (n^n/n!)^1/n=1/n*ln (n^n/n!)= 1/n*ln((n/1)*(n/2)*…*(n/n))=1/n*∑ln(n/i)= 1/n*∑ln(1/(i/n))
再由定积分定义，lim(n->∞)(ln (n^n/n!)^1/n)=∫ln(1/x)dx（上限为1，下限为0）.这是一个反常积分，结果为1,故lim(n->∞) (n^n/n!)^1/n=e.
答
设:xn = n^n/n!
则：lim(n->∞) x(n+1)/xn = lim(n->∞) (1+1/n)^n = e
【 由定理：lim(n->∞) （xn)^(1/n) = lim(n->∞) x(n+1)/xn 】
∴
lim(n->∞) (n^n/n!)^1/n = lim(n->∞) （xn)^(1/n) = lim(n->∞) x(n+1)/xn = e