如图,⊙O为四边形ABCD的外接圆,圆心O在AD上,OC∥AB.(1)求证:AC平分∠DAB;(2)若AC=8,AD:BC=5:3,试求⊙O的半径.
问题描述:
如图,⊙O为四边形ABCD的外接圆,圆心O在AD上,OC∥AB.
(1)求证:AC平分∠DAB;
(2)若AC=8,AD:BC=5:3,试求⊙O的半径.
答
知识点:此题综合运用了平行线的性质、等边对等角、圆周角定理的推论、等弧对等弦、以及勾股定理.
(1)证明:∵OC∥AB
∴∠OCA=∠BAC
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA
∴∠OAC=∠BAC
即AC平分∠DAB;
(2)∵AC平分∠DAB,
∴弧CD=弧BC
∴CD=BC
又AD:BC=5:3
∴AD:CD=5:3
∵AD是圆的直径,∴∠ACD=90°
根据勾股定理,得AD:CD:AC=5:3:4
所以AD=10,即圆的半径是5.
答案解析:(1)根据平行线的性质得到内错角相等,再根据同圆的半径相等得到∠OAC=∠OCA,运用等量代换的方法即可证明;
(2)根据(1)中的圆周角相等即可得到它们所对的弧相等,则等弧对等弦,即BC=CD.再根据勾股定理即可求解.
考试点:圆心角、弧、弦的关系;平行线的性质;勾股定理.
知识点:此题综合运用了平行线的性质、等边对等角、圆周角定理的推论、等弧对等弦、以及勾股定理.