如图所示，等边三角形ABC的边长是6，点P在边AB上，点Q在BC的延长线上，且AP=CQ，设PQ与AC相交于点D．（1）当∠DQC=30°时，求AP的长．（2）作PE⊥AC于E，求证：DE=AE+CD．
问题描述：
如图所示，等边三角形ABC的边长是6，点P在边AB上，点Q在BC的延长线上，且AP=CQ，设PQ与AC相交于点D．
（1）当∠DQC=30°时，求AP的长．
（2）作PE⊥AC于E，求证：DE=AE+CD．
答
（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=6，∠B=60°，∵∠DQC=30°，∴∠QPB=90°，∴BP=12BQ，设AP=CQ=a，则6-a=12（6+a），a=2，即AP=2；（2）证明：过P作PF∥BC交AC于F，则∠APF=∠B，∠AFP=∠ACB，∵△ABC是等边三...
答案解析：（1）求出∠QPB=90°，关键含30度角的直角三角形性质求出BP=
BQ，代入求出即可；1 2
（2）求出AE=EF，证△PFD≌∠QCD，推出DF=CD，即可得出答案．
考试点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
知识点：本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形性质，平行线性质的应用，主要考查学生的推理能力．