已知:如图所示,等边三角形ABC的边长为2,点P和Q分别从A和C两点同时出发,做匀速运动,且它们的速度相同.点P沿射线AB运动,点Q沿边BC的延长线运动,设PQ与直线AC相交于点D,作PE⊥AC于E,当P和Q运动时,线段DE的长是否改变?证明你的结论.

问题描述:

已知:如图所示,等边三角形ABC的边长为2,点P和Q分别从A和C两点同时出发,做匀速运动,且它们的速度相同.点P沿射线AB运动,点Q沿边BC的延长线运动,设PQ与直线AC相交于点D,作PE⊥AC于E,当P和Q运动时,线段DE的长是否改变?证明你的结论.

当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.理由如下:
作QF⊥AC,交直线AC的延长线于点F,
又∵PE⊥AC于E,
∴∠CFQ=∠AEP=90°,
∵点P、Q做匀速运动且速度相同,
∴AP=CQ,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠ACB=∠FCQ=60°,
∴在△APE和△CQF中

AP=CQ
∠A=∠FCQ
∠AEP=∠CFQ=90°

∴△APE≌△CQF,
∴AE=FC,PE=QF且PE∥QF,
∴四边形PEQF是平行四边形,
∴DE=
1
2
EF,
∵EC+CF=EC+AE=AC,
∴DE=
1
2
AC,
又∵等边△ABC的边长为2,
∴DE=1,
∴当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.
答案解析:作QF⊥AC,交直线AC的延长线于点F,易证△APE≌△CQF,可得AE=FC,PE=QF且PE∥QF,所以,四边形PEQF是平行四边形,即DE=
1
2
EF,等量代换得,DE=
1
2
AC,根据已知,即可得出DE的长为定值;
考试点:等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质.
知识点:本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形及平行四边形的判定与性质,平行四边形的判定及性质的运用,是解答本题的关键.