如图,点D在⊙O直径AB的延长线上,CD与⊙O相切于C,且AC=CD.(1)求∠A的度数;(2)若⊙O的半径为2,求图中阴影部分的面积.

问题描述:

如图,点D在⊙O直径AB的延长线上,CD与⊙O相切于C,且AC=CD.

(1)求∠A的度数;
(2)若⊙O的半径为2,求图中阴影部分的面积.

(1)连接OC,
∵CD与⊙O相切于C,
∴OC⊥CD,
设∠A=x°,
∵AC=CD,
∴∠A=∠D=x°,
又∵∠COD=2x°,
∴∠D+∠COD=3x°=90°,
解得:x=30,
∴∠A=30°;
(2)由(1)得∠COD=60°,∠D=30°,
∴OD=2OC=4,
∴CD=

OD2−OC2
=2
3

∴S阴影=S△COD-S扇形BOC=
1
2
×2×2
3
60π×22
360
=2
3
2
3
π

答案解析:(1)首先连接OC,由CD与⊙O相切于C,可得OC⊥CD,设∠A=x°,又由等腰三角形的性质与圆周角定理,即可得∠BOC=2x°,∠D=∠A=x°,继而可得3x=90,继而求得∠A的度数;
(2)由含30°角的直角三角形的性质,可求得OD与CD的长,然后由S阴影=S△COD-S扇形BOC,即可求得答案.
考试点:切线的性质;扇形面积的计算.
知识点:此题考查了切线的性质、勾股定理、扇形的面积以及含30°的直角三角形的性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.