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设f′（x0）=f″（x0）=0，f‴（x0）＞0，则下列选项正确的是（　　）A. f′（x0）是f′（x）的极大值B. f（x0）是f（x）的极大值C. f（x0）是f（x）极小值D. （x0，f（x0））是曲线y=f（x）的拐点

分类: 作业答案 • 2022-08-07 16:43:45
问题描述：

设f′（x0）=f″（x0）=0，f‴（x0）＞0，则下列选项正确的是（　　）
A. f′（x0）是f′（x）的极大值
B. f（x0）是f（x）的极大值
C. f（x0）是f（x）极小值
D. （x0，f（x0））是曲线y=f（x）的拐点

答


由导数定义知：f″′(x0)＝

lim
x→x0
f″(x)−f″(x0)
x−x0
＝
lim
x→x0
f″(x)
x−x0
＞0，
由极限的保号性可知，
存在x0的某去心邻域，在此去心邻域内：
f″(x)
x−x0
＞0，
由此可见在x0的左半邻域f″（x）＜0，曲线是凸的，
在x0的右半邻域f″（x）＞0，曲线是凹的，
因此（x0，f（x0））为曲线y=f（x）的拐点，
故选：D．
答案解析：由于题目知道的是一二阶导数为零，三阶导数大于0，因此可以用三阶导数的定义f″′(x0)＝
lim
x→x0
f″(x)−f″(x0)
x−x0
＝
lim
x→x0
f″(x)
x−x0
来判断．
考试点：求函数图形的拐点；求函数的极值点．
知识点：此题也可以用排除法来选择答案，如设f（x）=x3，x0=0，显然f′（0）=f″（0）=0，f′″（0）=6＞0，x0=0显然不是f′（x）=3x2的极大值点，而是极小值点．

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