证明数列收敛,并求极限设a > 0 ,0 扫码下载作业帮拍照答疑一拍即得
问题描述：
证明数列收敛,并求极限
设a > 0 ,0
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拍照答疑一拍即得
答
单调有界准则， 0 X n+1/ X n=(2 - a * X n)>1,知单调。再推出收敛
n趋于无穷，xn必然等于xn+1，设极限为t，t=t*（2-a*t）知t=1/a
答
Xn+1=Xn×(2-a*Xn)=-a×(Xn-1/a)²+1/a
→ (1/a-Xn+1)=a×(1/a-Xn)²
令Yn=1/a-Xn,则Yn+1=a×Yn² (Y1=1/a-X1,n≥2)
∴Yn+1=a^(2*n-1)×Y1^(2*n)=1/a×(a*Y1)^(2*n)
∴Xn+1=1/a-1/a×(a*Y1)^(2*n)
∵Y1=1/a-X1,即,0＜Y1＜1/a
∴0＜a*Y1＜1
∴0＜(a*Y1)^(2*n)＜1
∴0＜Xn+1＜1/a
当n→+∞时,(a*Y1)^(2*n)→0,Xn+1→1/a