证明数列√2,√(2+√2),√(2+√(2+√2)),-----收敛,并求其极限
问题描述:
证明数列√2,√(2+√2),√(2+√(2+√2)),-----收敛,并求其极限
答
令x=√(2+√(2+√2)),----->0
∴x²=2+√(2+√2)),-----=2+x
∴x²-x-2=0
∴x=2或x=-1(舍)
∴数列√2,√(2+√2),√(2+√(2+√2)),-----收敛,其极限为2
答
易证这个是递增数列,
且都所以是递增有界数列,
所以收敛
设极限为a
则√(2+a)=a
所以 a=2
即极限为2
答
显而易见,这个数列是递增
然后再用数学归纳法证明这个数列是有上界的
因为有a1=√2