在等比数列an中,前n项和Sn=3^(n+1)+r,求r.

首先假设数列的第一项为a1，等比例为k，则第n项为：an＝a1*k^(n-1)，前n项和的公式是Sn=(k^n-1)a1/(k-1)=[(a1/(k-1)]k^n-[a1/(k-1)]，又由原题可知，前项和是：3^(n+1)+r=3*3^k+r，由已知条件和n项和公式相比较，可以得知：r=a1/(k-1)=3

令n=1，得到s1=9+r =a1
令n=2，得到s2=27+r =a1+a2
令n=3，得到s3=81+r =a1+a2+a3
所以有a2=s2-s1=18
a3=s3-s2=54
由此可知，q=a3/a2=3
所以 a1=a2/q=6
于是 Sn= （a1*（1-q^n))/(1-q)=3*(3^n-1)=3^(n+1)-3
对比Sn=3^(n+1)+r，可知，r=-3

由Sn=an（q^n-1)/(q-1)=a1*q^n/(q-1)-a1/(q-1)
比较Sn=3^(n+1)+r 可得 q=3 a1/(q-1)=3
所以 r= -a1/(q-1）= -3

a1=S1=9+r
a1+a2=S2=27+r
所以a2=18
a1+a2+a3=S3=81+r
所以a3=54
等比
a2²=a1a3
324=54(9+r)
r=-3

由Sn=3^(n+1)+r可知公比q=3
取n=1得a1=9+r
取n=2得a1+a2=4a1=27+r
解得a1=6,r=-3

Sn=3^(n+1)+r
a1=S1=3^2+r=9+r
S2=a1+a2=3^3+r=27+r
a2=18
S3=S2+a3=3^4+r=81+r
a3=(81+r)-(27+r)=54
由于是等比数列,则有:a2^2=a1*a3
所以,18^2=(9+r)*54
得r=-3
代入检验,符合.
方法二:
a1=9+r
n>=2:
an=Sn-S(n-1)=3^(n+1)-3^n=2*3^n
所以得:a1=2*3=9+r
得:r=-3

Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=a1/(1-q)+(-a1*q^n)/(1-q)=3^(n+1)+r;
则
r=a1/(1-q)
-a1/(1-q)=-3;
则r=-3