如图,在直角梯形ABCD中,以B点为原点建立直角坐标系,AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC. (1)求证:AD=AE; (2)若AD=8,DC=4,AB=10,求直线AC的解析式; (3)在(2)中的条件下,在直线AC上

问题描述:

如图,在直角梯形ABCD中,以B点为原点建立直角坐标系,AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC.

(1)求证:AD=AE;
(2)若AD=8,DC=4,AB=10,求直线AC的解析式;
(3)在(2)中的条件下,在直线AC上是否存在P点,使得△PAD的面积等于△ABE的面积?若存在,请求出P的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)∵AB∥CD,∴∠ACD=∠BAC,
∵AB=BC,∴∠ACB=∠BAC,
∴∠ACD=∠ACB,∵AD⊥DC,AE⊥BC,
∴∠D=∠AEC=90°,
在△ADC和△AEC中

∠ADC=∠AEC
∠ACD=∠ACE
AC=AC

∴△ADC≌△AEC (AAS),
∴AD=AE;
(2)∵AD=8,DC=4,AB=10,
∴可得点C的坐标为(-6,8),A(-10,0),
设直线AC的解析式为y=ax+b,则
−6a+b=8
−10a+b=0

解得:
a=2
b=20

∴直线AC的解析式为:y=2x+20;

(3)存在,
理由:延长AD,在直线AC上取一点P,连接PD,过点P作△ADP的高h,
∵AD=AE=8,AB=10,
∴BE=6,
∴S△ABE=
1
2
×6×8=24,
设△PAD的边AD上的高为h,
则由S△PAD=S△ABE
1
2
×8×h=24

解得:h=6,
所以P的横坐标为-4或-16,
代入y=2x+20得:
y=2×(-4)+20=12,或y=2×(-16)+20=-12,
∴P点的纵坐标为12或-12,
所以P的坐标为(-4,12)或(-16,-12).