如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD⊥CD于D,AC平分∠DAB.求证:CD是⊙O的切线.
问题描述:
如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD⊥CD于D,AC平分∠DAB.
求证:CD是⊙O的切线.
答
证明:
证法一:连接OC;
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA;
∵AD⊥CD,
∴∠DAC+∠ACD=90°;
又∠OAC=∠CAD,
∴∠OCA+∠ACD=90°,
即OC⊥CD;
∵C在⊙O上,
∴CD是⊙O的切线.
证法二:连接OC;
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC,
∵∠OAC=∠DAC,
∴∠OCA=∠CAD,
∴OC∥AD;
又∵AD⊥CD,
∴OC⊥CD;
又∵C在⊙O上,
∴CD是⊙O的切线.
答案解析:由于C是⊙O上一点,连接OC,证OC⊥CD即可;利用角平分线的性质和等边对等角,可证得∠OCA=∠CAD,即可得到OC∥AD,由于AD⊥CD,那么OC⊥CD,由此得证.
考试点:切线的判定.
知识点:此题主要考查的是切线的判定方法.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.