已知数列{an}、{bn}都是无穷等差数列,其中a1=3,b1=2,b2是a2与a3的等差中项,且limn→∞anbn=12,求极限limn→∞(1a1b1+1a2b2+…+1anbn)的值.

问题描述:

已知数列{an}、{bn}都是无穷等差数列,其中a1=3,b1=2,b2是a2与a3的等差中项,且

lim
n→∞
an
bn
=
1
2
,求极限
lim
n→∞
1
a1b1
+
1
a2b2
+…+
1
anbn
)的值.

{an}、{bn}的公差分别为d1、d2.∵2b2=a2+a3,即2(2+d2)=(3+d1)+(3+2d1),∴2d2-3d1=2.又limn→∞anbn=limn→∞3+(n−1)d12+(n−1)d2=d1d2=12,即d2=2d1,∴d1=2,d2=4.∴an=a1+(n-1)d1=2n+1,bn=b1+(n-1...
答案解析:首先利用等差数列的通项公式和数列极限的计算方法,结合已知条件,可以求出两数列的公差,从而求出an,bn,进而推出an、bn,然后利用裂项相消法可得

1
a1b1
+
1
a2b2
+…+
1
anbn
的表达式,最后求出其极限.
考试点:等差数列的性质;极限及其运算.
知识点:本题主要考查数列、数列极限等基本知识,同时考查了分析,推理的能力及运算能力,解题过程中充分运用了裂项求和法.