不定积分习题:∫1/[√(1+x^2)]dx

公式：∫1/[√(x^2+a^2)]dx=ln|x+√(x^2+a^2)|+c，∫1/[√(x^2-a^2)]dx=ln|x+√(x^2-a^2)|+c。

提示：
d(arctanx)

令x＝tanθ，则：√（1＋x^2）＝√［1＋（tanθ）^2］＝√［1/（cosθ）^2］＝1/cosθ，
dx＝d（tanθ）＝［1/（cosθ）^2］dθ。
得：原式＝∫［1/（cosθ）^3］dθ＝∫［cosθ/（cosθ）^4］dθ
　　　　＝∫｛1/［（1－（sinθ）^2］^2｝d（sinθ）
再令sinθ＝t，得：
原式＝∫［1/（1－t^2）］dt＝∫［1/（2＋2t）＋1/（2－2t）］dt
　　＝（1/2）∫［1/（1＋t）］dt＋（1/2）∫［1/（1－t）］dt
　　＝（1/2）∫［1/（1＋t）］d（1＋t）－（1/2）∫［1/（1－t）］d（1－t）
　　＝（1/2）ln（1＋t）－（1/2）ln（1－t）＋C
　　＝（1/2）ln［（1＋sinθ）/（1－sinθ）］＋C
因为：tanθ＝x，所以：（tanθ）^2＝x^2，得：（sinθ）^2/［1－（sinθ）^2］＝x^2，
容易求出：sinθ＝x/√（1＋x^2）
得：（1＋sinθ）/（1－sinθ）＝［√（1＋x^2）＋x］/［√（1＋x^2）－x］
　＝［√（1＋x^2）＋x］^2
于是：
原式＝（1/2）ln［√（1＋x^2）＋x］^2＋C＝ln［x＋√（1＋x^2）］＋C

令x=tant代入即可

x=tant
dx=(sect)^2dt
∫1/[√(1+x^2)]dx
=∫1/[√(1+tant^2)](sect)^2dt
=∫1/[√(sect^2)](sect)^2dt
=∫sectdt
=ln|√(1+x^2)+x|+C