设不等式组 x>0 y>0 y≤-nx+3n ,所表示的平面区域为Dn,记Dn内的格点个数为f(n)

问题描述:

设不等式组 x>0 y>0 y≤-nx+3n ,所表示的平面区域为Dn,记Dn内的格点个数为f(n)
设Sn为数列bn的前n项的和,其中bn=2^f(n),问是否存在正整数n,t,使Sn-tbn/Sn+1-tbn+1

先求出f(n)=3n:y=-nx+3n在x轴上的截距是3.x=1时,1≤y≤2n,有2n个格点.x=2时,1≤y≤n,有n个格点.所以f(n)=3n.
bn=8^n,Sn=8/7×(8^n - 1),Sn-t*bn=8/7×(8^n - 1)-t*8^n=(8-7t)*8^n/7 - 8/7,由(Sn-t*bn)/(S(n+1)-t*b(n+1))<1/16得1<(8-7t)*8^n<15,所以8-7t>0,所以t=1,那么n=1