设F1,F2是双曲线(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 (a>0,b>0)的两个焦点.点P在双曲线上,若 向量PF1*向量PF2=0 且 (向量PF1的模)*(向量PF2的模)=2ac则双曲线离心率为?
问题描述:
设F1,F2是双曲线(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 (a>0,b>0)的两个焦点.点P在双曲线上,若 向量PF1*向量PF2=0 且 (向量PF1的模)*(向量PF2的模)=2ac则双曲线离心率为?
答
利用焦半径公式,不妨考虑P在右支上,则
PF1= ex-a,PF2=a+ex.由已知得
e2x2-a2=2ac (1)
内积 PF1PF2=0说明F1PF2是直角
(ex-a)2+(ex+a)2=4c2
即e2x2+a2=2c2 (2)
由(1)(2)有
a2+ac=c2,除以a2:
e2 -e-1=0.取正根e=(1+根5)/2.