已知:三棱锥P-ABC,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC,E为垂足.(1)求证:PA⊥平面ABC;(2)当E为△PBC的垂心时,求证:△ABC是直角三角形.

问题描述:

已知:三棱锥P-ABC,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC,E为垂足.
(1)求证:PA⊥平面ABC;
(2)当E为△PBC的垂心时,求证:△ABC是直角三角形.

证明:(1)如图所示,在平面ABC内取一点D,作DF⊥AC于F.
∵平面PAC⊥平面ABC,且交线为AC,∴DF⊥平面PAC.
又PA⊂平面PAC,∴DF⊥PA.
作DG⊥AB于G,同理可证:DG⊥PA.
∵DG、DF都在平面ABC内且DG∩DF=D,
∴PA⊥平面ABC;
(2)连结BE并延长交PC于H,
∵E是△PBC的垂心,∴PC⊥BH.
又已知AE是平面PBC的垂线,PC⊂平面PBC,
∴PC⊥AE.
又BH∩AE=E,∴PC⊥平面ABE.
又AB⊂平面ABE,∴PC⊥AB.
∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AB.
又PC∩PA=P,∴AB⊥平面PAC,
又AC⊂平面PAC,∴AB⊥AC,
即△ABC是直角三角形.
答案解析:(1)在平面ABC内取一点D,作DF⊥AC于F,DG⊥AB于G,证明DF⊥PA,DG⊥PA,利用线面垂直的判定,可得PA⊥平面ABC;
(2)连结BE并延长交PC于H,证明PC⊥平面ABE,AB⊥平面PAC,即可证得结论.
考试点:直线与平面垂直的判定.
知识点:本题考查线面垂直的判定,考查面面垂直的性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.