导数与微分的题已知函数 f(x)={x^asin(1/x),x>0 在x=0处连续但不可导,则（）{ 0,x≤0 (A)a>0; (B)a≤1; (C)0
问题描述：
导数与微分的题
已知函数 f(x)={x^asin(1/x),x>0 在x=0处连续但不可导,则（）
{ 0,x≤0
(A)a>0; (B)a≤1; (C)0
答
C
答
∵f(x)在x=0处连续
∴lim(x->0+)f(x)=lim(x->0-)f(x)=f(0)
==>lim(x->0+)[x^asin(1/x)]=0
==>a>0
∵f(x)在x=0处不可导
∴lim(△x->0+)(△y/△x)≠lim(△x->0-)(△y/△x) (右导数≠左导数)
又lim(△x->0+)(△y/△x)=lim(△x->0+)[(△x)^a*sin(1/△x)/△x]
=lim(△x->0+)[(△x)^(a-1)*sin(1/△x)]
lim(△x->0-)(△y/△x)=lim(△x->0-)(0/△x)=0
∴lim(△x->0+)[(△x)^(a-1)*sin(1/△x)]≠0
==>a-1≤0
==>a≤1
故应该选择答案 (C)0