已知f（x）=（1ax−1+12）•x3（a＞0且a≠1）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）讨论f（x）的奇偶性；（3）若f（x）＞0在定义域上恒成立，求a的取值范围．
问题描述：
已知f（x）=（
+1
ax−1
）•x3（a＞0且a≠1）．1 2
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）讨论f（x）的奇偶性；
（3）若f（x）＞0在定义域上恒成立，求a的取值范围．
答
（1）要使函数有意义，则ax-1≠0，即x≠0，∴函数f（x）的定义域为{x|x≠0}．
（2）∵函数f（x）的定义域为{x|x≠0}．
∴定义域关于原点对称，
则f（x）=（
+1
ax−1
）•x3=1 2
•x3，
ax+1 2(ax−1)
∴f（-x）=
•(−x)3=-
a−x+1 2(a−x−1)
•(−x3)=1+ax
2(1−ax)
•x3=f（x），
ax+1 2(ax−1)
∴f（x）是偶函数；
（3）∵f（x）是偶函数；
∴f（x）＞0在定义域上恒成立，
则只需要当x＞0时，f（x）＞0恒成立即可，
即f（x）=
•x3＞0即可，
ax+1 2(ax−1)
∴ax-1＞0，
即ax＞1，
∵x＞0，
∴a＞1，
即求a的取值范围是a＞1．
答案解析：（1）根据函数成立的条件即可求函数f（x）的定义域；
（2）根据函数奇偶性的定义，即可判断f（x）的奇偶性；
（3）若f（x）＞0在定义域上恒成立，建立等价条件，即可求a的取值范围．
考试点：函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．
知识点：本题主要考查函数定义域以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数的性质．