已知函数f(x)为一次函数,且f[f(x)]=2x-1,求f(x)的解析式

问题描述:

已知函数f(x)为一次函数,且f[f(x)]=2x-1,求f(x)的解析式

可设f(x)=ax+b,a不等于0,f[f(x)]=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b,则有a^2=2,ab+b=-1,解方程组,可得a等于2的平方根,有两个值,因此b也有相对应的两个值,即2的平方根加2的倒数的负数。

设f(x)=ax+b,则f(f(x))=a(ax+b)+b=a2x+ab+b
∵f[f(x)]=2x-1,∴a2x+ab+b=2x-1
∴a2=2且ab+b=-1,解得a=根2 ,b=1-根2 或a=-根2 ,b=1+根2
∴f(x)=根2x+1-根2 或f(x)=-根2x+1+根2