已知函数f(x)=ex-ax2(a∈R). (1)求函数f(x)在点P(0,1)处的切线方程; (2)若函数f(x)为R上的单调递增函数,试求a的范围; (3)若函数f(x)不出现在直线y=x+1的下方,试求a的

问题描述:

已知函数f(x)=ex-ax2(a∈R).
(1)求函数f(x)在点P(0,1)处的切线方程;
(2)若函数f(x)为R上的单调递增函数,试求a的范围;
(3)若函数f(x)不出现在直线y=x+1的下方,试求a的最大值.

(1)函数f(x)=ex-ax2.则导数f′(x)=ex-2ax,
∴f′(0)=1,
∴函数f(x)在点P(0,1)处的切线方程是y=x+1;
(2)函数f(x)为R上的单调递增函数即
导数f′(x)=ex-2ax≥0恒成立,
画出曲线y=ex和直线y=2ax,即要求曲线恒在直线的上方.
设直线与曲线相切时的切点为(m,n),则n=2am,n=em,em=2a,
解得m=1,n=e,a=

e
2

由图象观察得a的范围是[0,
e
2
];
(3)由题意可知,f(x)≥x+1恒成立,记F(x)=ex-ax2-x-1,
即F(x)≥0恒成立,
若a>0,则x<-
1
a
<0,F(x)<1-x(ax+1)-1<0,与F(x)≥0矛盾,
∴a≤0,F′(x)=ex-2ax-1,
则x>0时,F′(x)>e0-1=0,x<0时,F′(x)<e0-1=0,
∴x=0为F(x)的最小值点,即最小值为0,即F(x)≥0恒成立,
故函数f(x)不出现在直线y=x+1的下方,a的最大值为0.