如下图直线l与抛物线Y^2=x交于A(x1,y1)B(x2,y2)两点,与X轴交于点M,且y1y2=-1,求证点M的坐标为(1,0

问题描述:

如下图直线l与抛物线Y^2=x交于A(x1,y1)B(x2,y2)两点,与X轴交于点M,且y1y2=-1,求证点M的坐标为(1,0

1)将F(0,1)代入y=kx+b,解得b=1;
(2)过点F(0,1)的直线y=kx+1与抛物线 y=1/4x^2交于M(x1,y1)和N(x2,y2)两点,联立直线与抛物线解析式得1/4x^2-kx-1=0,所以x1•x2=-4;
(3)设直线l:y=-1交Y轴于F1,△M1FN1是直角三角形是直角三角形,理由如下:
由题知M1的横坐标为x1,N1的横坐标为x2,设M1N1交y轴于F1,
则F1M1•F1N1=-x1•x2=4,而F F1=2,所以F1M1•F1N1=F1F2,
另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°,易证Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1,得∠M1FF1=∠FN1F1,
故∠M1FN1=∠M1FF1+∠F1FN1=∠FN1F1+∠F1FN1=90°,所以△M1FN1是直角三角形.

M(m,0)
直线ly=k(x-m) x=y/k+m
Y^2=x 代入
y^2-y/k-m=0
y1y2=-m=-1 m=1
M的坐标为(1,0)