如何证明0.999999.约等于1

无限循环小数化分数 无限循环小数，先找其循环节（即循环的那几位数字），然后将其展开为一等比数列、求出前n项和、取极限、化简。 例如：0.99999999…… 循环节为9 则0.9=9*10^(-1)+9*10^(-2)+……+9^10(-n)+…… 前n项和为：9*0.1(1-(0.1)^(n))/(1-0.1) 当n趋向无穷时（0.1）^（n）=0 因此0.999999……=1 注意：m^n的意义为m的n次方 ********************* 这是一道非常著名的问题。我想肯定有人会说不相等。但请相信我和那些说它们相等的同志，他们的的确确是相等的。数学杂志最新刊物已经证明0.9循环＝1 证明的方法有很多： 第一种，最简单的： 设x=0.9999999999999……，那么10x=9.99999999999……，得到 10x-x=9 得x=1 第二种，也很简单的： 设x=0.999999999999……，那么x/3=0.333333333333……=1/3，得 x/3=1/3 x=1 第三种，稍微要绕一点脑筋： 你用竖式计算1除以1（竖式应该会吧，小学学过的），不同的是一开始不要直接商1，而要商0，那么余数是1，添加一个0变成10，然后商9，10-9=1，又得到余数是1，再按照上面的方法进行计算，就会算出来1/1=0.9999999…… 第四种，可以用极限来做： 等比数列的求和公式是[a1(1-q^n)]/(1-q)，那么当q无穷大的时候，这个式子的极限就是a1/(1-q)。由于循环小数0.aaaaaaaaa……=a/10+a/100+a/1000+a/10000+……，它的每一个加数刚好构成一个无穷的等比数列，而且q=1/10，那么就可以用a1/(1-q)计算0.99999999……，此时a1=0.9，q=1/10，很容易就可以得到0.9999999999……=0.9/(1-1/10)=1 以上就是常见的证明0.99999999999……=1的方法。方法还有很多种。最后结果都是：0.999999999……=1。 另外，我还可以明确地告诉你，以上的推理过程都是比较严密的，不要相信所谓的0.3333333333……只是约等于1/3，0.9999999999……

证：∵1/3=0.333333…… ∴1/3+1/3+1/3=0.333333……+0.333333……+0.3333…… ∴左=右 即 1=0.999999……