如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1的中,A1C1∩B1D1=O1,B1D∩平面A1BC1=P.求证:P∈BO1.

问题描述:

如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1的中,A1C1∩B1D1=O1,B1D∩平面A1BC1=P.
求证:P∈BO1

证明:在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,
∵B1D∩平面A1BC1=P,∴P∈平面A1BC1,P∈B1D.
∵B1D⊂平面BB1D1D.∴P∈平面A1BC1,且P∈平面BB1D1D.
∴P∈平面A1BC1∩平面BB1D1D,
∵A1C1∩B1D1=O1,A1C1⊂平面A1BC1,B1D1⊂平面BB1D1D,
∴O1∈平面A1BC1,且O1∈平面BB1D1D.
又B∈平面A1BC1,且B∈平面BB1D1D,
∴平面A1BC1∩平面BB1D1D=BO1.∴P∈BO1
答案解析:求证点在一条直线上,要顺藤摸瓜.首先看这个点在题目已知条件中在什么位置,然后再一步步地推导.此题中点P在直线B1D和平面A1BC1上,直线B1D在平面BB1D1D上,所以点P也在平面BB1D1D上,则点P应该在平面A1BC1和平面BB1D1D的交线上,即点P在直线BO1上.
考试点:平面的基本性质及推论;三点共线.
知识点:一般地,要证明一个点在某条直线上,只要证明这个点在过这条直线的两个平面上.