设函数f（x）=2cos2x+23sinx•cosx+m（m，x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）当x∈[0，π2]时，求实数m的值，使函数f（x）的值域恰为[12，72]，并求此时f（x）在R上的对称中心．
问题描述：
设函数f（x）=2cos2x+2
sinx•cosx+m（m，x∈R）．
3
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[0，
]时，求实数m的值，使函数f（x）的值域恰为[π 2
，1 2
]，并求此时f（x）在R上的对称中心． 7 2
答
（1）∵f（x）=2cos2x+2
sinxcosx+m
3
=1+cos2x+
sin2x+m
3
=2sin（2x+
）+m+1，π 6
∴函数f（x）的最小正周期T=π．
（2）∵0≤x≤
，π 2
∴
≤2x+π 6
≤π 6
，7π 6
∴-
≤sin（2x+1 2
）≤1，π 6
∴m≤f（x）≤m+3，
又
≤f（x）≤1 2
，7 2
∴m=
，1 2
令2x+
=kπ（k∈Z），解得x=π 6
-kπ 2
（k∈Z），π 12
∴函数f（x）在R上的对称中心为（
-kπ 2
，π 12
）（k∈Z）．3 2
答案解析：（1）利用二倍角的正弦与余弦及辅助角公式可求得f（x）=2sin（2x+
）+m+1，从而可求其最小正周期；π 6
（2）利用正弦函数的单调性可求得0≤x≤
时，m≤f（x）≤m+3，利用使函数f（x）的值域为[π 2
，1 2
]可求得m的值，从而可求f（x）在R上的对称中心．7 2
考试点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性．
知识点：本题考查：两角和与差的正弦函数，着重考查二倍角的正弦与余弦及辅助角公式，考查正弦函数的单调性、周期性与对称性，属于中档题．