设二次函数f(x)满足:①f(x-2)=f(-x-2);②它的图象在y轴上的截距为1;③它的图象在x轴上截得的线段长为22. 试求f(x)的解析式.

问题描述:

设二次函数f(x)满足:①f(x-2)=f(-x-2);②它的图象在y轴上的截距为1;③它的图象在x轴上截得的线段长为2

2

试求f(x)的解析式.

∵①f(x-2)=f(-x-2),∴函数f(x)图象关于x=-2 对称,设二次函数f(x)=ax2+bx+c,
则-

b
2a
=-2,②它的图象在y轴上的截距为1,∴c=1,
∵③它的图象在x轴上截得的线段长为2
2

∴|x1-x2|=
(x1+x2)2−4x1x2
=
(−
b
a
)
2
−4
1
a
=
16−
4
a
=2
2
,∴a=
1
2
,b=2,
∴f(x)=
1
2
x2+2x+1.