如图,在△ABC中,已知AD⊥BC,垂足为D,AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线,AE与BF相交于点O.(1)当∠BAC=50°,∠C=70°时,求∠AED,∠AOB;(2)当∠C=α时,求∠AOB.

问题描述:

如图,在△ABC中,已知AD⊥BC,垂足为D,AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线,AE与BF相交于点O.

(1)当∠BAC=50°,∠C=70°时,求∠AED,∠AOB;
(2)当∠C=α时,求∠AOB.

(1)∵∠BAC=50°,∠C=70°,
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=180°-50°-70°=60°,
∵AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线,
∴∠BAE=

1
2
∠BAC=25°,∠EBO=
1
2
∠ABC=30°,
∴∠AED=∠ABE+∠BAE=60°+25°=85°;
∵∠AOB=∠EBO+∠OED,
而∠OED=180°-∠AED=180°-85°=95°,
∴∠AOB=30°+95°=125°;
(2)∵AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线,
∴∠CAE=
1
2
∠BAC,∠FBE=
1
2
∠ABC,
∵∠AOB=∠EBO+∠OED,∠OED=∠CAE+∠C,
∴∠AOB=
1
2
∠ABC+
1
2
∠BAC+∠C=
1
2
(∠ABC+∠BAC+2∠C),
∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°,
∴∠AOB=
1
2
(180°-∠C+2∠C),
∴∠AOB=90°+
1
2
α.
答案解析:(1)先根据三角形内角和定理计算出∠ABC=180°-∠BAC-∠C=60°,再根据角平分线的性质得到∠BAE=
1
2
∠BAC=25°,∠EBO=
1
2
∠ABC=30°,则利用三角形外角性质得∠AED=∠ABE+∠BAE=85°;由于∠OED=180°-∠AED=180°-85°=95°,然后利用∠AOB=∠EBO+∠OED进行计算;
(2)根据角平分线的性质得到∠CAE=
1
2
∠BAC,∠FEB=
1
2
∠ABC,利用三角形外角性质得∠AOB=∠EBO+∠OED,∠OED=∠CAE+∠C,则∠AOB=
1
2
∠ABC+
1
2
∠BAC+∠C=
1
2
(∠ABC+∠BAC+2∠C),然后利用∠ABC+∠BAC+∠C=180°可得到∠AOB=
1
2
(180°+∠C).
考试点:三角形内角和定理;三角形的外角性质.
知识点:本题考查了三角形内角和定理:三角形内角和为180°.也考查了三角形外角性质以及角平分线的定义.