如图，已知△ABC，以边BC为直径的圆与边AB交于点D，点E为弧BD的中点，AF为△ABC角平分线，且AF⊥EC．（1）求证：AC与⊙O相切；（2）若AC=6，BC=8，求EC的长．
问题描述：
如图，已知△ABC，以边BC为直径的圆与边AB交于点D，点E为弧BD的中点，AF为△ABC角平分
线，且AF⊥EC．
（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）若AC=6，BC=8，求EC的长．
答
知识点：本题考查的是切线的性质，相似三角形的判定定理及勾股定理的综合运用．
（1）证明：如图，连接BE，
∵AF是∠BAC的角平分线，AF⊥EC，
∴∠ACH=∠AHC．
∵∠BHE=∠AHC，
∴∠ACH=∠BHE．
∵E是
的中点，BD
∴∠EBD=∠BCE．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BEC=90°．（ 3分）
∴∠EBH+∠BHE=90°．
∴∠BCE+∠ACE=90°．
∴AC是⊙O的切线．（4分）
（2）在Rt△ABC中，
∵AC=6，BC=8，
∴AB=10．
又∵∠ACH=∠AHC，
∴AH=AC=6．
∴BH=AB-AH=10-6=4．（6分）
∵∠EBH=∠ECB，
∴△EBH∽△ECB．
∴
=EB EC
=HB BC
．1 2
在Rt△EBC中，
∵EC=2EB，BC=8，
∵EC2+EB2=BC2
∴EC=
．16
5
5
答案解析：（1）连接BE，只要证得∠OAC=90°即可．
（2）根据相似三角形的判定得到△EBH∽△ECB，根据相似比即可求得EC的长．
考试点：切线的判定；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
知识点：本题考查的是切线的性质，相似三角形的判定定理及勾股定理的综合运用．