设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,Q是抛物线上除顶点外的任意一点,直线QO交准线于P点,过Q且平行于抛物线对称轴的直线交准线于R点,求证:PF•RF=0.
问题描述:
设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,Q是抛物线上除顶点外的任意一点,直线QO交准线于P点,过Q且平行于抛物线对称轴的直线交准线于R点,求证:
•
PF
=0.
RF
答
知识点:本题主要考查了抛物线的应用,向量的计算.考查了学生综合把握抛物线基础知识的能力.
证明:设Q(
,y0),则R(-
y
2
0
2p
,y0),p 2
直线OQ的方程为y=
x,2p y0
将x=-
代入上式,得y=-p 2
,p2 y0
∴P(-
,-p 2
).又F(p2 y0
,0),p 2
∴
=(p,
PF
),p2 y0
=(p,-y0).
RF
∴
•
PF
=0.
RF
答案解析:先根据抛物线方程设出点Q和R,则直线OQ的方程可得,将x=-
代入即可得交点P的坐标,同时根据抛物线方程可知点F的坐标,进而表示出p 2
和
PF
,求得
RF
•
PF
=0.
RF
考试点:抛物线的应用.
知识点:本题主要考查了抛物线的应用,向量的计算.考查了学生综合把握抛物线基础知识的能力.