设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,Q是抛物线上除顶点外的任意一点,直线QO交准线于P点,过Q且平行于抛物线对称轴的直线交准线于R点,求证:PF•RF=0.

问题描述:

设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,Q是抛物线上除顶点外的任意一点,直线QO交准线于P点,过Q且平行于抛物线对称轴的直线交准线于R点,求证:

PF
RF
=0.

证明:设Q(

y
2
0
2p
,y0),则R(-
p
2
,y0),
直线OQ的方程为y=
2p
y0
x,
将x=-
p
2
代入上式,得y=-
p2
y0

∴P(-
p
2
,-
p2
y0
).又F(
p
2
,0),
PF
=(p,
p2
y0
),
RF
=(p,-y0).
PF
RF
=0.
答案解析:先根据抛物线方程设出点Q和R,则直线OQ的方程可得,将x=-
p
2
代入即可得交点P的坐标,同时根据抛物线方程可知点F的坐标,进而表示出
PF
RF
,求得
PF
RF
=0.
考试点:抛物线的应用.

知识点:本题主要考查了抛物线的应用,向量的计算.考查了学生综合把握抛物线基础知识的能力.