设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,Q是抛物线上除顶点外的任意一点,直线QO交准线于P点,过Q且平行于抛物线对称轴的直线交准线于R点,求证:PF•RF=0.

问题描述:

设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,Q是抛物线上除顶点外的任意一点,直线QO交准线于P点,过Q且平行于抛物线对称轴的直线交准线于R点,求证:

PF
RF
=0.

证明:设Q(

y 20
2p
,y0),则R(-
p
2
,y0),
直线OQ的方程为y=
2p
y0
x,
将x=-
p
2
代入上式,得y=-
p2
y0

∴P(-
p
2
,-
p2
y0
).又F(
p
2
,0),
PF
=(p,
p2
y0
),
RF
=(p,-y0).
PF
RF
=0.