设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,Q是抛物线上除顶点外的任意一点,直线QO交准线于P点,过Q且平行于抛物线对称轴的直线交准线于R点,求证:PF•RF=0.
问题描述:
设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,Q是抛物线上除顶点外的任意一点,直线QO交准线于P点,过Q且平行于抛物线对称轴的直线交准线于R点,求证:
•PF
=0. RF
答
证明:设Q(
,y0),则R(-
y
20
2p
,y0),p 2
直线OQ的方程为y=
x,2p y0
将x=-
代入上式,得y=-p 2
,p2 y0
∴P(-
,-p 2
).又F(p2 y0
,0),p 2
∴
=(p,PF
),p2 y0
=(p,-y0).RF
∴
•PF
=0.RF