设函数F（x）＝x^3+ax^2－a^2x+m (a>0)若函数F(x)在x€[－1,1]内没有极值点,求a的取值范围.注：x^3是指x的三次方,后面的x^2,a^2同理.
问题描述：
设函数F（x）＝x^3+ax^2－a^2x+m (a>0)
若函数F(x)在x€[－1,1]内没有极值点,求a的取值范围.注：x^3是指x的三次方,后面的x^2,a^2同理.
答
由题得F（x）在[－1,1]内的导数恒正或恒负即可,而导数为3x^2+2ax-a^2,要使3x^2+2ax-a^2在[－1,1]内恒正或恒负,只需在-1和1处的函数值同号即可,也就是(3+2a-a^2)(3-2a-a^2)>0,解得a€(负无穷,-3)并(-1,1)并(3,正无穷)
答
F（x）＝x³+ax²-a²x+m
F′（x）＝3x²+2ax-a²
=(3x-a)*(x+a)
令F′（x）=0
故x=a/3或x=-a
因a>0
故a/3>-a
故F(x)在(-∞,-a],[a/3,+∞)上单调递增,在(-a,a/3)上单调递减
为使[-1,1]内无极值点只需[-1,1]是上述三个区间之一的子区间即可
显然[-1,1]只能是(-a,a/3)的子区间
故a>3