已知关于x的一元二次方程x²-kx+2k-3=0有两个实数根.(1)若两个根满足:一个根大于1,另一个根小于1,求实数k的取值范围.(2)求方程的两个实数根的平方和的最小值,并写出此时实数k的值.
问题描述:
已知关于x的一元二次方程x²-kx+2k-3=0有两个实数根.
(1)若两个根满足:一个根大于1,另一个根小于1,求实数k的取值范围.
(2)求方程的两个实数根的平方和的最小值,并写出此时实数k的值.
答
(1)有两个根,需Δ=(-k)²-4(2k-3)=k²-8k+12=(k-2)(k-6)>0
得k=6
由韦达定理知 x1+x2=k x1x2=2k-3
由题意知 (x1-1)(x2-1)即 x1x2-(x1+x2)+1=2k-3-k+1=k-2综合得 k(2) x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2=k²-2(2k-3)=k²-4k+6=(k-2)²+2≥2
当k=2时 方程的两个实数根的平方和达到最小值2
答
令f(x)=x^2-kx+2k-3
结合函数图像可知:若两个根满足一根大于1,一根小于1,那么必须f(1)