定义在R上的函数y=f(x)是减函数,y=f(x-1)的图象关于(1,0)成中心对称,若s,t满足不等式f(s2-2s)≤-f(2t-t2),则当1≤s≤4时,t/s的取值范围是_.

问题描述:

定义在R上的函数y=f(x)是减函数,y=f(x-1)的图象关于(1,0)成中心对称,若s,t满足不等式f(s2-2s)≤-f(2t-t2),则当1≤s≤4时,

t
s
的取值范围是______.

把函数y=f(x)向右平移1个单位可得函数y=f(x-1)的图象
∵函数y=f(x-1)得图象关于(1,0)成中心对称
∴函数y=f(x)的图象关于(0,0)成中心对称,即函数y=f(x)为奇函数
∵f(s2-2s)≤-f(2t-t2)=f(t2-2t)且函数y=f(x)在R上单调递减
∴S2-2S≥t2-2t在S∈[1,4]上恒成立
即(t-s)(s+t-2)≤0
∵1≤s≤4
∴-2≤2-s≤1,即2-s≤s
∴2-s≤t≤s
作出不等式所表示的平面区域,如图的阴影部分的△ABC,C(4,-2)

t
s
表示在可行域内任取一点与原点(0,0)的连线的斜率,结合图象可知OB直线的斜率是最大的,直线OC的斜率最小
∵KOB=1,KOC=
1
2

t
s
∈[-
1
2
,1]
故答案为:[-
1
2
,1]