若二次函y=ax2+bx+c的图像经过点A(1,—3),顶点为M,且方程ax2+bx+c=12的两根为6,-2,抛物线上是否存在一点p
问题描述：
若二次函y=ax2+bx+c的图像经过点A(1,—3),顶点为M,且方程ax2+bx+c=12的两根为6,-2,抛物线上是否存在一点p
使角POM=90°,若不存在,说明理由；若存在,求出P点的坐标..
答
方程ax²+bx+c=12化成ax²+bx+c-12=0
根据韦达定理有
x1+x2=-b/a=4.①
x1x2=(c-12)/a=-12.②
带入点A(1,-3)得
a+b+c=-3.③
由①②③得
a=1,b= -4,c=0
所以二次函数方程为
y=x²-4x
顶点M(2,-4)
设点P(x,x²-4x)
因为OM⊥OP
所以向量OM与OP的向量积为0
即2x-4(x²-4x)=0
x=9/2或0(舍)
P(9/2,9/4)