如图,已知l是第一、三象限的角平分线,点P与P′关于l对称,已知点P的坐标为(a,b),猜想P′的坐标是什么?并说明你猜想的正确性.

问题描述:

如图,已知l是第一、三象限的角平分线,点P与P′关于l对称,已知点P的坐标为(a,b),猜想P′的坐标是什么?并说明你猜想的正确性.

点P′的坐标为(b,a).理由如下:
分别作PA⊥y轴于A,P′B⊥x轴于B,连结OP、OP′,如图,
∵点P与P′关于l对称,
∴OP=OP′,∠1=∠2,
∵l是第一、三象限的角平分线,
∴∠1+∠3=∠2+∠4,
∴∠3=∠4,
在△OAP和△OBP′中

∠OAP=∠OBP′
∠3=∠4
OP=OP′

∴△OAP≌△OBP′(AAS),
∴OA=OB,PA=P′B,
而A点坐标为(a,b),
∴点P′的坐标为(b,a).
答案解析:分别作PA⊥y轴于A,P′B⊥x轴于B,连结OP、OP′,如图,根据对称的性质得OP=OP′,∠1=∠2,再根据角平分线定义得∠1+∠3=∠2+∠4,则∠3=∠4,然后利用“AAS”证明△OAP≌△OBP′,则OA=OB,PA=P′B,则易得点P′的坐标为(b,a).
考试点:坐标与图形变化-对称.
知识点:本题考查了坐标与图形变化-对称:关于x轴对称,横坐标相等,纵坐标互为相反数;关于y轴对称,纵坐标相等,横坐标互为相反数.也考查了对称的性质和三角形全等的判定与性质.