（1）已知△ABC中，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，且BO、CO相交于点O，试探索∠BOC与∠A之间的数量关系，并说明理由．（2）已知BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分线，BO、CO相交于O，试探索∠BOC与∠A之间的数量关系，并说明理由．（3）已知：BD为△ABC的角平分线，CO为△ABC的外角平分线，它与BO的延长线交于点O，试探索∠BOC与∠A的数量关系，并说明理由．

答

（1）∠BOC=90°+

1

2

∠A．
理由如下：延长BO交AC于点D，
∵BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠A+2∠1+2∠2=180°，
∠BDC=∠A+∠1，
∠BOC=∠BDC+∠2，
∴∠BOC=∠A+∠1+∠2=90°+

1

2

∠A．
（2）∠BOC=90°-

1

2

∠A．
理由如下：
∵BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分线，
∴∠DBC=2∠1=∠ACB+∠A，
∠ECB=2∠2=∠ABC+∠A，
∴2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°，
又∵∠1+∠2+∠BOC=180°，
∴2∠BOC=180°-∠A，即∠BOC=90°-

1

2

∠A．
（3）∠BOC=

1

2

∠A．
理由如下：
∵BD为△ABC的角平分线，CO为△ABC的外角平分线，
∴∠ACE=2∠2=∠A+2∠1，
∠2=∠1+∠BOC，
∴∠BOC=

1

2

∠A．
答案解析：（1）根据三角形内角和定理求出∠A+2∠1+2∠2=180°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可证∠BOC=90°+

1

2

∠A．
（2）由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可证2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°，再根据三角形内角和定理可证2∠BOC=180°-∠A．
（3）由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可证∠ACE=2∠2=∠A+2∠1，∠2=∠1+∠BOC，即可证）∠BOC=

1

2

∠A．
考试点：三角形内角和定理；角平分线的定义．
知识点：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．