证明:若函数f(x)在[a,b]上连续,x1,..,xn属于[a,b]且t1+...+tn=1 ti>0(i=1,...,n),则在[a,b]上至少存在证明:若函数f(x)在[a,b]上连续,x1,..,xn属于[a,b]且t1+...+tn=1 ,ti>0(i=1,...,n),则在[a,b]上至少存在一点c使得f(c)=t1f(x1)+...+tnf(xn)

问题描述:

证明:若函数f(x)在[a,b]上连续,x1,..,xn属于[a,b]且t1+...+tn=1 ti>0(i=1,...,n),则在[a,b]上至少存在
证明:若函数f(x)在[a,b]上连续,x1,..,xn属于[a,b]且t1+...+tn=1 ,ti>0(i=1,...,n),则在[a,b]上至少存在一点c使得f(c)=t1f(x1)+...+tnf(xn)

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因为连续函数把有界闭区间变为有界闭区间,又因为有界闭区间是个凸集,所以t1f(x1)+...+tnf(xn)属于f的值域。

不妨设f(x1)在这n个函数值之中是最大的,为M,f(xn)是最小的,为m于是容易知道t1f(x1)+...+tnf(xn)∈【m,M】
于是根据连续函数的介值定理,在区间【x1,xn】中至少存在一点c使得f(c)=t1f(x1)+...+tnf(xn)
证毕

太难