如图,直角三角形ABC中,∠C=90°,BC被点D、E三等分,且BC=3AC,那么∠AEC+∠ADC+∠ABC=______°.

问题描述:

如图,直角三角形ABC中,∠C=90°,BC被点D、E三等分,且BC=3AC,那么∠AEC+∠ADC+∠ABC=______°.

如图,以BC为边作正方形BCMN,
在MN上取点P、Q,
使MP=PQ=QN,连接AP,PD,DQ,
则有AM=CD,MP=AC,△ACB≌△PQD,
易得△APM≌△DCA
所以AP=AD且∠DAC+∠PAM=90°,
即△APD是等腰直角三角形
所以∠ABC+∠ADC=∠PDQ+∠ADC=90°-∠ADP=90°-45°=45°
又由题意知∠AEC=∠EAC=45°
所以∠AEC+∠ADC+∠ABC=90°
答案解析:根据正方形中四条边相等,可以求证,△ACB≌△PQD,△APM≌△DCA,得到∠ABC+∠ADC=∠PDQ+∠ADC.
所以要求∠ABC+∠ADC求∠PDQ+∠ADC即可.
考试点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质.


知识点:本题考查的转化思想,考查全等三角形对应角相等,找到全等三角形并进行对应角转换是解决本题的关键.