已知在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB:BC=1:2,O、F分别为CD、BC的中点,且EO⊥平面ABCD,求证:AF⊥EF.

问题描述:

已知在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB:BC=1:

2
,O、F分别为CD、BC的中点,且EO⊥平面ABCD,求证:AF⊥EF.

证明:连结AF、OF,
不妨设AB=2,BC=2

2
,则BF=CF=
2
,OC=1,
AB
BF
CF
OC
2
1
,∠ABF=∠OCF=90°,
∴△ABF∽△OCF,
∴∠AFB=∠COF,
∴AF⊥FO
∵EO⊥面ABCD,AF⊂面ABCD,
∴AF⊥EO,
∴AF⊥平面EOF,
∴AF⊥EF.
答案解析:连结AF、OF,由已知条件得△ABF∽△OCF,从而AF⊥FO,进而AF⊥平面EOF,由此能证明AF⊥EF.
考试点:直线与平面垂直的性质.

知识点:本题考查异面直线垂直的证明,是中档题,解题时要注意空间思维能力的培养.