有关级数收敛若级数∑an收敛,为什么级数∑an + a(n+1)也收敛?而∑a(2n-1) - a(2n)不一定收敛?
问题描述：
有关级数收敛
若级数∑an收敛,为什么级数∑an + a(n+1)也收敛?而∑a(2n-1) - a(2n)不一定收敛?
答
级数∑an收敛，其通项an的极限是0，前n项和Sn有极限A。级数∑(an + a(n+1))的前n项和Tn＝2Sn-a1-a(n+1)，所以Tn的极限是2A-a1，级数∑(an + a(n+1))收敛。
无法证明∑(a(2n-1) - a(2n))的前n项和收敛，应该存在反例，暂时还没有想到。留待补充
答
首先，∑a(n+1)=∑an,所以∑an + a(n+1)=2∑an,而若∑an=无穷大，则∑a(2n-1) - a(2n)变成了无穷-无穷的不定式，所以可能发散
答
例如an=(-1)^(n-1)/n∑a(2n-1) - a(2n)=∑1/n发散∑an + a(n+1) 里两个项是同号的,由于∑an收敛,所以∑2an也收敛,并且任意添加括号后也收敛∑2an=2a1+2a2+...+2an+...=a1+(a1+a2+...+an+...)+[a2+a3+...+a(n+1)+...]...