设y=f(x)是R上的奇函数,且当x属于R时,都有f(x+2)=-f(x),(1)试证明是周期函数,并求周期(2)试证x=1是其图像的对称轴,(3)若当-1≤x≤1时,f(x)=sinx,试写出当x属于[1,5]时,f(x)的解析式,(4)对于第(3)小题中的f(x),若集合A=x丨丨f(x)丨>a,x属于R,是非空集合,求a的取值范围,.关键是后面几小问

问题描述:

设y=f(x)是R上的奇函数,且当x属于R时,都有f(x+2)=-f(x),(1)试证明是周期函数,并求周期
(2)试证x=1是其图像的对称轴,(3)若当-1≤x≤1时,f(x)=sinx,试写出当x属于[1,5]时,f(x)的解析式,(4)对于第(3)小题中的f(x),若集合A=x丨丨f(x)丨>a,x属于R,是非空集合,求a的取值范围,.
关键是后面几小问

f(x+2+2)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=-(-f(x))=f(x)
4是周期。

第一问:由题意可得 f(x+2+2)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x).所以周期为4.
第二问:只要证明f(x+1)=f(1-x)成立就行了.
f(1-x)=f[-(x-1)]=-f(1-x)=f(1-x+2)=f(1+x),///(这个式子是有题目中的条件做的等式变换的来的,奇函数以及f(x+2)=-f(x)).所以很容易就可以证明f(x+1)=f(1-x)是成立的.所以x=1是其对称轴.
第三问:主要是用到周期函数了.并且由f(x+2)=-f(x),f(x+4)=f(x).做一下转化就可以求出解析式了.和上一问的转化差不多...
第四问:只要把第三问的解析式就出来,这个问题就很容易了...只要让小于求出函数绝对值的最小值就OK了...