如图,正方形ABCD的边长为1,P为AB上的点,Q为AD上的点,且△APQ的周长为2,则∠PCQ=______度.
问题描述:
如图,正方形ABCD的边长为1,P为AB上的点,Q为AD上的点,且△APQ的周长为2,则∠PCQ=______度.
答
知识点:本题考查了旋转的性质:旋转前后的两个图形全等,对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.也考查了三角形全等的判定与性质.
把Rt△CBP绕C顺时针旋转90°,得到Rt△CDE,如图,
则E在AD的延长线上,并且CE=CP,DE=PB,∠ECP=90°,
∵△APQ的周长为2,
∴QP=2-AQ-AP,
而正方形ABCD的边长为1,
∴DE=PB=1-AP,
DQ=1-AQ,
∴QE=DE+DQ=2-AQ-AP,
∴QE=QP,
而CQ公共,
∴△CQE≌△CQP,
∴∠PCQ=∠QCE,
∴∠PCQ=45°.
故答案为:45.
答案解析:把Rt△CBP绕C顺时针旋转90°,得到Rt△CDE.则E在AD的延长线上,并且CE=CP,DE=PB,∠ECP=90°,再由△APQ的周长为2,
得到QP=2-AQ-AP,易得QE=DE+DQ=2-AQ-AP,于是△CQE≌△CQP,得到∠PCQ=∠QCE,得到∠PCQ=45°.
考试点:旋转的性质.
知识点:本题考查了旋转的性质:旋转前后的两个图形全等,对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.也考查了三角形全等的判定与性质.