如图,PA和PB分别与⊙O相切于A、B两点,作直径AC,并延长交PB于点D,连接OP,CB.(1)求证:OP∥CB;(2)若PA=12,DB:DC=2:1,求⊙O的半径.

问题描述:

如图,PA和PB分别与⊙O相切于A、B两点,作直径AC,并延长交PB于点D,连接OP,CB.

(1)求证:OP∥CB;
(2)若PA=12,DB:DC=2:1,求⊙O的半径.

(1)证明:连接AB,
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点,
∴PA=PB且∠APO=∠BPO.
∴OP⊥AB   ①.
∵AC是⊙O的直径,
∴AB⊥CB   ②.
由①和②,得:
OP∥CB.
(2)∵由(1)知OP∥CB,

PB
OC
DB
DC

又∵PB=PA=12,
DB
DC
2
1

12
OC
2
1

∴OC=6.
即⊙O的半径为6.
答案解析:(1)PA和PB分别与⊙O相切于A、B两点,则满足切线长定理,易证AB⊥CB,根据AC是直径,可以得到∠ABC=90°,所以OP⊥AB,因而可以得到OP∥CB;(2)由OP∥CB根据平行线分线段成比例定理,就可以得到PBOC=DBDC,再根据PA=PB,从而求出OC即半径的长.
考试点:切线的性质;圆周角定理;平行线分线段成比例.
知识点:本题主要考查了直径所对的圆周角是直径,以及平行线分线段成比例定理.