设函数f(x)=x3+ax2-a2x+m(a>0)(Ⅰ)若a=1时函数f(x)有三个互不相同的零点,求m的范围;(Ⅱ)若函数f(x)在[-1,1]内没有极值点,求a的范围;(Ⅲ)若对任意的a∈{3,6},不等式f(x)≤1在x∈[-2,2]上恒成立,求实数m的取值范围.

问题描述:

设函数f(x)=x3+ax2-a2x+m(a>0)
(Ⅰ)若a=1时函数f(x)有三个互不相同的零点,求m的范围;
(Ⅱ)若函数f(x)在[-1,1]内没有极值点,求a的范围;
(Ⅲ)若对任意的a∈{3,6},不等式f(x)≤1在x∈[-2,2]上恒成立,求实数m的取值范围.

(Ⅰ)当a=1时f(x)=x3+x2-x+m,
∵f(x)有三个互不相同的零点,所以f(x)=x3+x2-x+m,
即m=-x3-x2+x有三个互不相同的实数根.
令g(x)=-x3-x2+x,则g′(x)=-3x2-2x+1=(x+1)(-3x+1).
∵g(x)在(-∞,-1)和(

1
3
,+∞)均为减函数,在(-1,
1
3
)为增函数,
则g(-1)为极小值且为-1,g(
1
3
)为极大且为
5
27

∴m的取值范围(-1,
5
27
);
(Ⅱ)由题可知,函数f(x)在[-1,1]内没有极值点等价为
方程f′(x)=3x2+2ax-a2=0在[-1,1]上没有实数根,
f′(1)=3+2a−a2≤0
f′(−1)=3−2a−a2≤0
a>0
,∴a≥3;
(Ⅲ)∵f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x-
a
3
)(x+a),且a>0,
∴函数f(x)的递减区间为(-a,
a
3
),递增区间为(-∞,-a)和(
a
3
,+∞);
当a∈[3,6]时,
a
3
∈[1,2],-a≤-3,又x∈[-2,2],
∴f(x)max=max{f(-2),f(2)}而f(2)-f(-2)=16-4a2<0,
∴f(x)max=f(-2)=-8+4a+2a2+m,
又∵f(x)≤1在x∈[-2,2]上恒成立,
∴f(x)max≤1,即-8+4a+2a2+m≤1即m≤9-4a-2a2在a∈[3,6]恒成立.
∵9-4a-2a2的最小值为-87,
∴m≤-87.
答案解析:(Ⅰ)运用分离参数,得到m=-x3-x2+x有三个互不相同的实数根.令g(x)=-x3-x2+x,求出极值,只要m介于极大和极小之间即可;
(Ⅱ)原问题等价为方程f′(x)=3x2+2ax-a2=0在[-1,1]上没有实数根,运用二次方程实根分布的知识,即可得到;
(Ⅲ)原问题转化为对任意的a∈{3,6},不等式f(x)max≤1在x∈[-2,2]上成立,运用导数求出f(x)在[-2,2]上的最值即可.
考试点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.
知识点:本题考查导数在函数中的综合应用:求单调区间、求最值,考查二次方程实根的分布,以及不等式恒成立问题,转化为求最值问题,属于中档题.