已知关于x的方程:log2(x+3)−log4x2=a在区间(3,4)内有解,则实数a的取值范围是( )A. [log274,+∞)B. (log274,+∞)C. (log274,1)D. (1,+∞)
问题描述:
已知关于x的方程:log2(x+3)−log4x2=a在区间(3,4)内有解,则实数a的取值范围是( )
A. [log2
,+∞)7 4
B. (log2
,+∞)7 4
C. (log2
,1)7 4
D. (1,+∞)
答
当3<x<4时,关于x的方程:log2(x+3)−log4x2=a 即 log2(x+3)−log2x =a,
即 log2
=a,即 1+x+3 x
-2a=0.3 x
令f(x)=1+
-2a,由log2(x+3)−log4x2=a在区间(3,4)内有解,3 x
f(x)在区间(3,4)内连续且单调递减,可得f(3)f(4)<0,
即(2-2a)(
-2a)<0,解得 7 4
<2a<2,故 log27 4
<a<1.7 4
故选C.
答案解析:当3<x<4时,关于x的方程可化为 1+
-2a=0,令f(x)=1+3 x
-2a,可得f(3)f(4)<0,即(2-2a)(3 x
-2a)<0,解得 7 4
<2a<2,从而求得实数a的取值范围.7 4
考试点:根的存在性及根的个数判断;函数零点的判定定理.
知识点:本题主要考查函数的零点与方程的根的关系,体现了化归与转化的数学思想,属于中档题.