已知关于x的方程:log2(x+3)−log4x2=a在区间(3,4)内有解,则实数a的取值范围是(  )A. [log274,+∞)B. (log274,+∞)C. (log274,1)D. (1,+∞)

问题描述:

已知关于x的方程:log2(x+3)−log4x2=a在区间(3,4)内有解,则实数a的取值范围是(  )
A. [log2

7
4
,+∞)
B. (log2
7
4
,+∞

C. (log2
7
4
,1)

D. (1,+∞)

当3<x<4时,关于x的方程:log2(x+3)−log4x2=a 即 log2(x+3)−log2x =a
log2

x+3
x
=a,即  1+
3
x
-2a=0.
令f(x)=1+
3
x
-2a,由log2(x+3)−log4x2=a在区间(3,4)内有解,
f(x)在区间(3,4)内连续且单调递减,可得f(3)f(4)<0,
即(2-2a)(
7
4
-2a)<0,解得
7
4
<2a<2,故 log2
7
4
<a<1.
故选C.
答案解析:当3<x<4时,关于x的方程可化为 1+
3
x
-2a=0,令f(x)=1+
3
x
-2a,可得f(3)f(4)<0,即(2-2a)(
7
4
-2a)<0,解得
7
4
<2a<2,从而求得实数a的取值范围.
考试点:根的存在性及根的个数判断;函数零点的判定定理.
知识点:本题主要考查函数的零点与方程的根的关系,体现了化归与转化的数学思想,属于中档题.