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已知函数f（x）=-4sin2x+4cosx+1-a，若关于x的方程在区间[−π4，2π3]上时f（x）=0恒有解，则a的取值范围是（　　） A.[-8，0] B.[-3，5] C.[-4，5] D.[−3，22−1]

分类: 作业答案 • 2021-12-19 22:40:36

问题描述：

已知函数f（x）=-4sin²x+4cosx+1-a，若关于x的方程在区间[−

π

4

，

2π

3

]上时f（x）=0恒有解，则a的取值范围是（　　）
A. [-8，0]
B. [-3，5]
C. [-4，5]
D. [−3，2

2

−1]

答

令cosx=t，则函数f（x）=-4（1-cos²x）+4cosx+1-a=4t²+4t-3-a．
∵-

π

4

≤x≤

2π

3

，∴-

1

2

≤cosx≤1，即-

1

2

≤t≤1．
故方程4t²+4t-3-a=0 在[-

1

2

，1]上有解．
即求函数a=4t²+4t-3 在[-

1

2

，1]上的值域．
又函数a=4t²+4t-3 在[-

1

2

，1]上是单调增函数，
∴t=-

1

2

时，a有最小值等于-4，t=1时，a有最大值等于5，故-4≤a≤5，
故选 C．