设a为实常数，函数f（x）=-x3+ax2-4．（1）若函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为π4，求函数f（x）的单调区间；（2）若存在x0∈（0，+∞），使f（x0）＞0，求a的取值范围．

（1）f′（x）=-3x2+2ax．根据题意f′（1）=tanπ4=1，∴-3+2a=1，即a=2．∴f′（x）=-3x2+4x=-3x(x−43)．当f′（x）＞0，得x(x−43)＜0，即0＜x＜43；当f′（x）＜0，得x(x−43)＞0，即x＜0或x＞43．∴f′（x）的...
答案解析：（1）求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，然后再根据切线的倾斜角求出切线的斜率，两个斜率相等即可求出a的值，把a的值代入导函数确定出导函数，令导函数大于0，求出x的取值范围即为函数的递增区间，令导函数小于0求出x的范围即为函数的递减区间；
（2）求出f（x）的导函数，当a小于等于0时，由x大于0，得到导函数小于0，即函数在（0，+∞）上为减函数，又x=0时f（x）的值为-4且当x大于0时，f（x）小于-4，所以当a小于等于0时，不存在x₀＞0，使f（x₀）＞0；当a大于0时，分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到f（x）的最大值，让最大值大于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，综上，得到满足题意的z的取值范围．
考试点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
知识点：此题考查学生利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调性，是一道中档题．