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已知：关于x的两个方程 2x2+（m+4）x+m-4=0，① 与mx2+（n-2）x+m-3=0，② 方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根．（1）求证方程②的两根符号相同；（2）设方程②的两根分别为

分类: 作业答案 • 2022-07-11 15:05:49

问题描述：

已知：关于x的两个方程
2x²+（m+4）x+m-4=0，①
与mx²+（n-2）x+m-3=0，②
方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根．
（1）求证方程②的两根符号相同；
（2）设方程②的两根分别为α、β，若α：β=1：2，且n为整数，求m的最小整数值．

答

证明：（1）∵方程2x²+（m+4）x+m-4=0两个不相等的负实数根，
∴设这两个负实数根分别为x₁，x₂
∴

△1＞0

x1+x2＜0

x1•x2＞0

即

(m+4)2−4×2(m−4)＞0

−

m+4

2

＜0

m−4

2

＞0

解不等式组，得m＞4，
由方程②有两个实数根，可知m≠0，
∴当m＞4时，

m−3

m

＞0，即方程②的两根之积为正，
∴方程②的两根符号相同；
（2）∵方程②的两根分别为α、β，且α：β=1：2，
∴β=2α
由

m≠0

α+β＝3β＝−

n−2

m

①

α•β＝2α 2＝

m−3

m

②

m≠0

α+β＝3α＝−

n−2

m

①

α•β＝2α 2＝

m−3

m

②

把①代入②得

(n−2)2

9m2

=

m−3

2m

∴（n-2）²=

9

2

m（m-3），
由（1）知，m＞4，又m为整数，
m=6时，（n-2）²=

9

2

×6×3=81
解得n=11或n=-7
当m=6，n=11时，△₁=（n-2）²-4m（m-3）＞0，
当m=6，n=-7时，△₂=（n-2）²-4m（m-3）＞0，
∴m的最小整数值为6．